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最新消息：Scratch与数学的整合4

时间 :2023-06-28 10:16:36   来源 : 哔哩哔哩

第4讲        弧长和扇形面积


(资料图片仅供参考)

一、课程导入

本节课你将会学到：弧长和扇形面积的算法、在结果保留π的情况下，实现弧长和扇形面积相关的Scratch编程。

二、想想议议

虽然网上有教与圆有关的计算的Scratch编程，但是那些教的知识圆的周长和面积。但你光会这些还没有用。∴你是否想过这样一个问题：如何求一个圆的一部分弧长？在弧上任意取两点连接圆心后，其中一个扇形、与它360°互补的那部分图形的面积怎么求？

三、问题探究

1、我们先来探究第一个问题：如何求一个圆的一部分弧长？

2、首先，圆的周长，也就是圆一周的长度，2πr吧？那“圆的一部分弧长”怎么理解呢？我们把它拆开来看。这句话的突破口就在“的”字，∵我们平时说到“几的几倍”就会想到相乘，∴请大家记住：“的”就代表相乘，那么“弧长”明显就是弧的长度了。

如图1所示，我们在这个圆的周长上任意取

相对位置的两点连接，分别以点P、点Q为参参照点展开成一条直线，即○O变为线段QP。这个过程中虽然形状变了，但是圆心角的角度、圆心的位置是固定的，另外这个圆不是向量的圆，只有大小没有方向。图中画的箭头与圆本身是相互独立的。线段它样子像平角，但实际它不是角，平角是180°的角。

结合上述结论，我们可以得到下面的公式：弧长=nπr/180，其中n是圆心角度数，π是圆周率，r是半径。

3、我们再来探究如何求扇形的面积？

首先，圆的面积，也即是圆的大小，πr²吧？至于扇形的意思，我们从字面上就能看出来，是形状像扇子一样的图形。但这并不是它本身内在的含义，只有弄懂它的含义我们才能得出结论。∴大家可以说一下，你对扇形的形状是怎么理解的？这位同学说的我非常赞同。是一个外面是弧形，两端端点连接于圆心的两条线段的一个轴对称图形。这里要注意：轴对称≠轴对称图形。一个图形对折后能与另一个图形重合，那么这两个图形的关系就是轴对称。轴对称图形是其中一边向对面对折后能重合的图形，这里的圆心角的度数可以是任意的。例如我从○O的弧上取P、Q两点并连OP、OQ，从而得到扇形POQ，取45°的角（如图2所示），

经过对比，明显看出阴影部分面积就是我们要求的面积。

于是我们可以得到下面的公式：扇形的面积=nπR²/360，其中n是圆心角度数，π是圆周率，R是半径。注：这里的r应该写成R。

四、知识储备

保留π的定义：在进行与圆有关计算时，得出的结果的π那部分不是取，拿代替，而是直接落下来，π就是π。

五、流程图讲解

首先程序开始，我们要实现的流程就是弧长和扇形面积的算法，没有什么言外之意。∴只需要第一步直接输入已知条件半径、圆周角的度数。两个问题合并成两个小问会更简洁。∵我说过要保留π，∴必须带上π。既然结果不保留了，那就说明他是个代数式了。Scratch无法直接实现代数式化简，只能求值。那么接下来就是要把数字部分和π分开来处理，至于原因我待会再讲。由于积木块是个整体，变量名则是个体。执行顺序是从里到外，从上到下，∴此时仅整理了数字部分，到下一部还要补回来。接下来我们就可以求解，使角色说出答案。最后程序结束。

六、变量信息

半径的长度、圆周角系数、周长的系数、面积的系数、周长、面积

七、代码示例

当绿旗被点击

为了方便直观，我们先把需要的已知条件归为一类。

询问请输入半径的长度

将半径的长度设为回答

询问请输入圆周角的度数

将圆周角的度数设为回答

现在有了半径的长度和圆周角的度数，我们就可以套用该公式求解了。根据代数式的概念，我们可以把系数和π进行字符连接，先整理系数部分。

将周长的系数设为（半径的长度×圆周角的度数）/180°

将面积的系数设为（圆周角的度数×半径的长度²）/360°

现在系数已经知道了，不过还别忘了保留π呢，也就是要将已知数与π进行字符连接。

将周长设为连接周长的系数和π

将面积设为连接面积的系数和π

∵我们把两个问题合到一起了，∴编写最后的答语时，要用到等待1秒与回答内容一个一个隔开。而且除了最后一个回答以外，所有回答都必须是“说××……秒”的形式。

等待1秒

说：“连接周长是和周长。”2秒

等待1秒

说：“连接周长是和周长。”

这两句话也可以调换位置，但是“说2秒”与“不是说2秒”不能调换位置。

八、课后思考

请利用今天学的知识证明：已知m，n均是关于代数式mna中的系数（m≠a）。证明：mna=（m×n）a。

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